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IOLの練習問題(Intermediate Level): Basque Numbers

日本語版が入ってないので書きます(なんとなく)。
パット見意味不明でも少しずつわかってきて面白かった。

IOLの練習問題はここからゲットできます。
International Linguistics Olympiad - Sample Problems

数字を当てる問題です。問題文が1行なので日本人にやさしい。

実はこの問題、

bost × zazpi = hogeita hama
bost zazpi × bederatzi = hirurogeita hiru

bost × zazpi = hogeita hama bost
zazpi × bederatzi = hirurogeita hiru

と読み替えないと公式解答とつじつまが合いません。改行の場所間違えちゃったのかなあ
無論私の勘違いの可能性もありますが…ただバスク語を調べてもhogeita hamaなんて数ないんですよね…

解法

原文曰く、Basque numbers are identified straightforwardly、つまり やるだけ とのことです。
えっ?

文字を変数に見立てて変形していきました。こうすれば1番めの空欄はすぐに埋まります。

bi * bost = hamar, bi * hamar = hogei -> bi * bi * bost = hogei
lau * bost = 空欄1, bi * bi = lau -> bi * bi * bost = 空欄1

したがって空欄1 = hogeiといった具合です。

hogeita bosthogei + bostと予想し、

「hiru * hamar = hogeita hamar」
hiru * hamar = hogei + hamar
 = bi * bi * bost + bi * bost
 = bi * bost * (bi + 1) = hamar * (bi + 1)
hiru = bi + 1
「bost * bost = hogeita bost」
bost * bost = hogei + bost
 = bi * bi * bost + bost
 = bost(bi*bi+1)
bost = bi * bi + 1

bi * bi = lauより、biは0,1ではないとわかります(bi * bi = biとならないので)。 また、lauは単語の短さから、1ケタの数字と推測しました。
lau <= 9となるので、biは2か3と絞り込めます。
特に理由はないのですが、bi = 2として先程の式に代入すると、hamar = 10, hogei = 20, bost = 5, zazpi = 7, lau = 4, hiru = 3, bederatzi = 9とわかります。
あえて理由を考えるなら、bi = 3とすると、zazpiが 12 という微妙すぎる数字になるからではないでしょうか(zazpi * hamar = hirurogeita hamarより)。さすがのバスク話者もここまでしないだろ(((
ここで空欄2 * hamar = laurogeita(=lau * hogeita) + hamarより、空欄2 = bederatziと出ます(手抜き)。

あとは数字を当てはめるだけです。
なかなか変な解説になってしまいました。 冒頭の問題のミスっぽいもののせいでbederatziがなにかわからず撃沈しました….